对于包含多源自变量的评价模型，常使用评价公式：

[math]y = \omega_1x_1 + \omega_2x_2 + … + \omega_nx_n[/math]

为求出其中的权重[math]\omega_i[/math]，并计算出综合评分[math]y[/math]，常用层次分析法、熵权法，或CRITIC权重法等，本文将介绍其中的熵权法。

熵权法的原理

熵权法（Entropy Weight Method ）是一种客观赋权方法（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）。依据的原理：指标的变异程度越大，事件发生概率越低，信息熵（事件发生的不确定性）越高，应当给予的关注（即权重）也应该越高。

数据标准化

1.正向指标: [math]x’_{ij} = \frac{X_{ij} – \min(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj})}{\max(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj}) – \min(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj})}[/math]

2.负向指标: [math]x’_{ij} = \frac{\max(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj}) – X_{ij}}{\max(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj}) – \min(X_{1j}, X_{2j}, \ldots, X_{nj})}[/math]

求各指标在各方案下的比值

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标，计算第 j 项指标下第 i 个对象所占的比重，将其看作相对熵计算中用到的概率。

[math]y_{ij} = \frac{x’_{ij}}{\sum_{i=1}^{m} x’_{ij}} \quad (i = 1,2,\ldots,n; \, j = 1,2,\ldots,m)[/math]

求各指标的信息熵

对于第[math]j[/math]个指标而言，其信息熵的计算公式为：

[math]e_j = -\frac{1}{\ln m} \sum_{i=1}^{m} y_{ij} \ln y_{ij}[/math]

确定各指标的权重

[math]\omega_j = \frac{1 – e_j}{m – \sum_{j=1}^{m} e_j}[/math]

计算综合评分

[math]S_i = \sum_{j=1}^{n} y_{ij} \omega_{ij}[/math]

总结

1. 当已知各个指标的数据，想依据指标的差异程度来求各指标的权重时，熵权法是一个不错的选择。
2. 熵权法是一个基础的常用评价模型，在美赛 E 和 F 题的 O 奖论文中十分常见，通常出现在第一问，因为评价模型是整个问题分析的基础。
3. 比赛中，常用 SPSSPRO 来实现熵权法，已经足够用了，不需要用 MATLAB 或者 Python 运行代码，效率太低。
4. 由于 SPSSPRO 上的熵权法会自动实现指标的正向化和负向化处理，所以在软件操作中不需要进行数据预处理，直接在熵值法中代入数据就行，但在论文中需要写清楚正向化和负向化处理的公式和解释。
5. 在论文写作中，可以依葫芦画瓢，按照 O 奖论文的写法，根据相应的题目，修改变量说明即可，公式可以直接照搬，因为比赛只会对文字查重，不会对公式和图片查重。
6. 熵权法的缺点：忽略了指标本身重要程度，有时确定的指标权重会与预期的结果相差甚远，同时不能减少评价指标的维数。所以在 O 奖论文中，会发现该方法还需要跟其他评价方法（如层次分析法）联合使用，来弥补自身的不足。