问题引入

近年来，我国结婚率逐年下降，现在需要探究导致年轻人不愿结婚的主要原因，具体数据（虚构）如下：

年份	结婚对数	房价	人均收入	女性失业数
2017	3806	398	850	1352
2018	3356	455	846	1268
2019	2750	482	960	1010
2020	2335	422	900	953
2021	2061	561	1024	808
2022	1988	511	1100	763

数据预处理

通过预处理来消除量纲。此处对每个指标中的元素，将其除以该指标的均值，得到新数据如下：

年份	结婚对数	房价	人均收入	女性失业数
2017	1.4013	0.8441	0.8979	1.3182
2018	1.2356	0.9650	0.8937	1.2363
2019	1.0125	1.0223	1.0141	0.9847
2020	0.8597	0.8950	0.9507	0.9292
2021	0.7588	1.1898	1.0817	0.7878
2022	0.7320	1.0838	1.1620	0.7439

确定分析序列

参考数列(母序列)：能反映系统行为特征的数据序列。记作[math]x_0[/math]
比较数列(子序列)：影响系统行为的因素组成的数据序列。记作[math]x_i(i = 1, 2, …, n)[/math]

例如结婚率就是参考数列，房价、人均收入、女性失业数就是比较数列。
可以这样理解，参考数列就类似于因变量[math]y[/math]，比较数列是自变量[math]x[/math]。

确定灰色关联系数

定义两级最小差 [math] a = \min\limits_s \min\limits_t \vert x_0 (t) – x_s (t) \vert [/math]，两级最大差 [math] b = \max\limits_s \max\limits_t \vert x_0 (t) – x_s (t) \vert [/math] 。
通俗来说，就是分别用表格每一行的[math]x_0 – x_i[/math]，然后找出结果的最大与最小值。

	[math]x_0[/math]（结婚对数）	[math]x_1[/math]（房价）	[math]x_2[/math]（人均收入）	[math]x_3[/math]（女性失业数）
2017	1.4013	0.8441	0.8979	1.3182
2018	1.2356	0.9650	0.8937	1.2363
2019	1.0125	1.0223	1.0141	0.9847
2020	0.8597	0.8950	0.9507	0.9292
2021	0.7588	1.1898	1.0817	0.7878
2022	0.7320	1.0838	1.1620	0.7439

得到[math]a[/math]和[math]b[/math]后，再对上表中的每一个元素定义[math]\gamma(x_0(k), x_i(k)) = \frac{a + \rho b}{\vert x_0(k) – x_i(k) \vert + \rho b}[/math]，其中[math]\rho[/math]称为分辨系数，一般取值为[math]0.5[/math]。

	[math]\gamma(x_0,x_1)[/math]	[math]\gamma(x_0,x_2)[/math]	[math]\gamma(x_0,x_3)[/math]
2017	0.3341	0.3571	0.7719
2018	0.5084	0.4500	1.0000
2019	0.9684	0.9967	0.9113
2020	0.8896	0.7555	0.8023
2021	0.3935	0.4643	0.9079
2022	0.4429	0.3941	0.9610

将各指标取平均值作为该序列的灰色关联度，即 [math]\gamma (x_0, x_i) = \frac {1}{n} \sum_{k=1}^{n} \gamma (x_0 (k), x_i (k))[/math] 。

	[math]\gamma(x_0,x_1)[/math]	[math]\gamma(x_0,x_2)[/math]	[math]\gamma(x_0,x_3)[/math]
2017	0.3341	0.3571	0.7719
2018	0.5084	0.4500	1.0000
2019	0.9684	0.9967	0.9113
2020	0.8896	0.7555	0.8023
2021	0.3935	0.4643	0.9079
2022	0.4429	0.3941	0.9610
灰色关联度	0.5895	0.5696	0.8924

最终通过灰色关联度大小来判断母序列与子序列的相关性。有表可知，[math]x_0[/math]与[math]x_3[/math]的关联度最大，即年轻人不愿结婚与女性婚后失业的风险有极大的相关性，其次就是房价因素对年轻人结婚也有较大的影响。

灰色关联分析的定义

概述

灰色关联分析是用来确定一个系统中，哪些因素是主要因素，哪些是次要因素，哪些对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小。从而进行系统分析，强化推动因素，抑制阻碍因素。

它的原理可以通俗地理解成，根据序列曲线几何形状的相似程度来判断联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。

可以用来解决多重共线性¹的问题，通过对多个因素降维选出对结果有显著影响的因素，也可以进行综合评价。

解题步骤

1. 先进行数据预处理、正向化、标准化；
2. 确定母序列和子序列，如果有多个母序列则需要分别进行灰色关联分析；
3. 将母序列与子序列两两相减，并计算两级最小差和两极最大差；
4. 对每个元素计算灰色关联系数[math]\gamma[/math]，注意这里[math]\rho[/math]一般取值为[math]0.5[/math]；
5. 将各指标的灰色关联系数求平均值作为灰色关联度；
6. 根据灰色关联度大小下结论。

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1. 在进行线性回归分析时，出现的自变量之间彼此相关的现象，称为多重共线性。 ↩︎